Математички факултет, Београд. Пријемни испит - 28. јун 2017.

Дата су тврђења:
[inline](\text{I})[/inline] за сваки рационалан број [inline]x[/inline] и сваки ирационалан број [inline]y[/inline], број [inline]x+y[/inline] је ирационалан;
[inline](\text{II})[/inline] за сваки рационалан број [inline]x[/inline] и сваки ирационалан број [inline]y[/inline], број [inline]xy[/inline] је ирационалан;
[inline](\text{III})[/inline] за сваки рационалан број [inline]x[/inline] и сваки ирационалан број [inline]y[/inline], број [inline]y^x[/inline] је ирационалан.
Тачна су тврђења:
A) сва триB) ниједноC) само [inline](\text{I})[/inline]D) само [inline](\text{III})[/inline]E) тачно два од њихN) Не знам

Скуп решења неједначине [inline]|x-1|\gt|x+5|[/inline] је:
A) [inline](-5,1)[/inline]B) [inline](-\infty,-2)[/inline]C) [inline](-\infty,-5)[/inline]D) [inline](-2,+\infty)[/inline]E) [inline](1,+\infty)[/inline]N) Не знам

Цели бројеви [inline]a[/inline] и [inline]b[/inline] су решења једначине [inline]x^2-7x+m=0[/inline]. Ако је [inline]a^2+4b^2=68[/inline], онда број [inline]m[/inline] припада интервалу:
A) [inline](-\infty,-8)[/inline]B) [inline][-8,0)[/inline]C) [inline][0,8)[/inline]D) [inline][8,+\infty)[/inline]E) број [inline]m[/inline] није једнозначно одређенN) Не знам

У правоугаонику [inline]ABCD[/inline] је [inline]AB=3[/inline] и [inline]BC=1[/inline]. Ако је [inline]M[/inline] тачка странице [inline]AD[/inline], а [inline]N[/inline] тачка странице [inline]AB[/inline] тако да је [inline]AN=2AM[/inline], онда је максимална могућа вредност површине четвороугла [inline]MNCD[/inline] једнака:
A) [inline]\displaystyle\frac{7}{4}[/inline]B) [inline]\displaystyle\frac{7}{8}[/inline]C) [inline]\displaystyle\frac{3}{4}[/inline]D) [inline]\displaystyle\frac{3}{2}[/inline]E) [inline]2[/inline]N) Не знам

Збир квадрата свих реалних решења једначине [inline]\displaystyle\sqrt{x+4+2\sqrt{x+3}}=\frac{x+8}{3}[/inline] једнак је:
A) [inline]5[/inline]B) [inline]1[/inline]C) [inline]4[/inline]D) [inline]10[/inline]E) [inline]14[/inline]N) Не знам

Највећи од бројева [inline]2^{1/2}[/inline], [inline]3^{1/3}[/inline], [inline]4^{1/4}[/inline], [inline]5^{1/5}[/inline] и [inline]6^{1/6}[/inline] је:
A) [inline]6^{1/6}[/inline]B) [inline]5^{1/5}[/inline]C) [inline]4^{1/4}[/inline]D) [inline]3^{1/3}[/inline]E) [inline]2^{1/2}[/inline]N) Не знам

Број парова [inline](a,b)[/inline] природних бројева за које важи [inline]\log_{2^a}\Bigl(\log_{2^b}\left(2^{1000}\right)\Bigr)=1[/inline] је:
A) [inline]0[/inline]B) [inline]1[/inline]C) [inline]2[/inline]D) [inline]3[/inline]E) већи од [inline]3[/inline]N) Не знам

Симетрала унутрашњег угла код темена [inline]A[/inline] троугла [inline]ABC[/inline] сече страницу [inline]BC[/inline] у тачки [inline]D[/inline] тако да је [inline]BD=9[/inline] и [inline]DC=12[/inline]. Ако је [inline]O[/inline] центар уписаног круга датог троугла и [inline]AO:OD=4:3[/inline], онда је обим троугла [inline]ABC[/inline] једнак:
A) [inline]63[/inline]B) [inline]56[/inline]C) [inline]48[/inline]D) [inline]42[/inline]E) [inline]49[/inline]N) Не знам

Нека је [inline]ABCD[/inline] трапез чије су основице [inline]AB=30[/inline] и [inline]CD=20[/inline]. На краку [inline]BC[/inline] изабрана је тачка [inline]E[/inline] таква да је [inline]BE:EC=2:1[/inline]. Ако је површина датог трапеза једнака [inline]P[/inline], тада је површина троугла [inline]AED[/inline] једнака:
A) [inline]\displaystyle\frac{1}{2}P[/inline]B) [inline]\displaystyle\frac{7}{15}P[/inline]C) [inline]\displaystyle\frac{2}{5}P[/inline]D) [inline]\displaystyle\frac{8}{15}P[/inline]E) [inline]\displaystyle\frac{2}{3}P[/inline]N) Не знам

Основа пирамиде [inline]MABCD[/inline] је квадрат [inline]ABCD[/inline], а бочна ивица [inline]MA[/inline] је нормална на основу. Ако је [inline]AC=5[/inline], а [inline]\angle MDA=30^\circ[/inline], тада је запремина пирамиде једнака:
A) [inline]\displaystyle\frac{125}{24}\sqrt2[/inline]B) [inline]\displaystyle\frac{125}{8}\sqrt2[/inline]C) [inline]\displaystyle\frac{125}{4}\sqrt6[/inline]D) [inline]\displaystyle\frac{125}{36}\sqrt6[/inline]E) [inline]\displaystyle\frac{125}{12}\sqrt6[/inline]N) Не знам

Међу бројевима [inline]\ln3[/inline], [inline]\sin32^\circ[/inline], [inline]\sqrt{0,25}[/inline], [inline]\cos63^\circ[/inline] и [inline]\log_32[/inline] најмањи је:
A) [inline]\ln3[/inline]B) [inline]\sin32^\circ[/inline]C) [inline]\sqrt{0,25}[/inline]D) [inline]\cos63^\circ[/inline]E) [inline]\log_32[/inline]N) Не знам

Ако је [inline]\sin2x=2\sqrt2-2[/inline], онда вредност израза [inline]\displaystyle\frac{\sin^3x-\cos^3x}{\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}[/inline] износи:
A) [inline]\sqrt2[/inline]B) [inline]4-\sqrt2[/inline]C) [inline]2[/inline]D) није дефинисанаE) није једнозначно одређенаN) Не знам

У троуглу [inline]ABC[/inline] је [inline]\angle CAB=60^\circ[/inline] и [inline]AB:CA=2:1[/inline]. Ако је површина троугла [inline]18\sqrt3[/inline], обим троугла је:
A) [inline]3\sqrt2\left(3+\sqrt3\right)[/inline]B) [inline]6\left(3+\sqrt3\right)[/inline]C) [inline]30[/inline]D) [inline]4\left(3+\sqrt2\right)[/inline]E) [inline]6\left(3+\sqrt2\right)[/inline]N) Не знам

Број решења једначине [inline]\text{tg }x=\cos x[/inline] у интервалу [inline][-\pi,\pi][/inline] је:
A) [inline]0[/inline]B) [inline]1[/inline]C) [inline]2[/inline]D) [inline]3[/inline]E) [inline]4[/inline]N) Не знам

Ако је [inline]M(x_0,y_0)[/inline] тачка кружнице [inline]x^2+y^2-2x-2y-3=0[/inline] која је најближа тачки [inline]A(4,-5)[/inline], онда је [inline]x_0+y_0[/inline] једнако:
A) [inline]1[/inline]B) [inline]2[/inline]C) [inline]3[/inline]D) [inline]0[/inline]E) [inline]5[/inline]N) Не знам

Збир првих [inline]100[/inline] чланова низа [inline]\displaystyle1,1,2,\frac{1}{2},4,\frac{1}{4},\ldots,2^n,\frac{1}{2^n},\ldots[/inline] је:
A) [inline]\displaystyle2^{100}+1-\frac{1}{2^{100}}[/inline]B) [inline]\displaystyle2^{50}+1-\frac{1}{2^{50}}[/inline]C) [inline]\displaystyle2^{50}+1-\frac{1}{2^{49}}[/inline]D) [inline]\displaystyle2^{51}+1-\frac{1}{2^{50}}[/inline]E) [inline]\displaystyle2^{50}-1+\frac{1}{2^{49}}[/inline]N) Не знам

Нека је [inline]z[/inline] комплексан број за који важи [inline]\displaystyle\frac{\sqrt2}{z+i}=-|z|[/inline]. Тада је [inline]2z-\overline z[/inline] једнако:
A) [inline]-1-3i[/inline]B) [inline]6-i[/inline]C) [inline]2-3i[/inline]D) [inline]1-i[/inline]E) није једнозначно одређеноN) Не знам

Нека су [inline]a[/inline] и [inline]b[/inline] реални бројеви и нека је број [inline]2+i[/inline] једно решење једначине [inline]x^3+ax+b=0[/inline]. Производ [inline]ab[/inline] је једнак:
A) [inline]110[/inline]B) [inline]-220[/inline]C) [inline]-20[/inline]D) [inline]-22[/inline]E) [inline]55[/inline]N) Не знам

Пет ученика треба распоредити на пет столица у једном реду тако да Пера не седи на местима која су на крајевима реда, а Жика не седи на месту које је тачно у средини. На колико начина је то могуће учинити?
A) [inline]42[/inline]B) [inline]48[/inline]C) [inline]60[/inline]D) [inline]72[/inline]E) [inline]120[/inline]N) Не знам

У развоју степена бинома [inline](x+y)^n[/inline], где су [inline]x[/inline], [inline]y[/inline] реални, а [inline]n[/inline] природан број, други сабирак је једнак [inline]320[/inline], трећи је [inline]1280[/inline], а четврти [inline]2560[/inline]. Производ [inline]xyn[/inline] је једнак:
A) [inline]30[/inline]B) [inline]36[/inline]C) [inline]40[/inline]D) [inline]45[/inline]E) [inline]50[/inline]N) Не знам