Математички факултет, Београд. Пријемни испит - 12. јун 2021.

Дате су праве [inline]\displaystyle p\colon y=\frac{1}{2}x+1[/inline] и [inline]q\colon2y=x+6[/inline]. Две странице квадрата [inline]ABCD[/inline] су на правама [inline]p[/inline] и [inline]q[/inline]. Једначина кружнице чији је центар пресечна тачка [inline]y[/inline]-осе и праве [inline]q[/inline], а полупречник једнак дужини дијагонале квадрата [inline]ABCD[/inline] је:
A) [inline]\displaystyle(x-3)^2+y^2=\frac{32}{5}[/inline];B) [inline]\displaystyle x^2+(y-1)^2=\frac{32}{5}[/inline];C) [inline]\displaystyle x^2+(y-3)^2=\frac{32}{5}[/inline];D) [inline]x^2+(y-3)^2=8[/inline];E) [inline](x-3)^2+y^2=8[/inline];N) Не знам

Ако је [inline]0\lt a\lt1[/inline], онда је израз [inline]\displaystyle\left(\frac{\sqrt{(a-1)^2}+a}{a^3-1}\cdot\frac{(a-1)^3}{2}-\frac{(a+1)^2}{2\left(a^2+a+1\right)}\right)\cdot\left(\frac{1-a^3}{a}\right)[/inline] идентички једнак изразу:
A) [inline]\displaystyle\frac{\left(a^3-3a^2+a-1\right)(1-a)}{2}[/inline];B) [inline]-2(a-1)[/inline];C) [inline]2(a-1)[/inline];D) [inline]a-1[/inline];E) [inline]1-a[/inline];N) Не знам

Нека је [inline]a[/inline] број свих четвороцифрених бројева облика [inline]\overline{3xy7}[/inline] који су дељиви са [inline]9[/inline]. Последња цифра броја [inline]8^a[/inline] је:
A) [inline]1[/inline];B) [inline]2[/inline];C) [inline]4[/inline];D) [inline]8[/inline];E) [inline]9[/inline];N) Не знам

Број свих реалних решења једначине [inline]2^{\log_24^x}-2^{1+\sqrt{x^2}}-8=0[/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]1[/inline];C) [inline]2[/inline];D) [inline]3[/inline];E) [inline]4[/inline];N) Не знам

Вредност параметра [inline]a[/inline] за коју једначина [inline]|x-1|+|x+1|=a[/inline] има бесконачно много решења је:
A) не постоји такво [inline]a[/inline];B) [inline]-1[/inline];C) [inline]1[/inline];D) [inline]2[/inline];E) [inline]0[/inline];N) Не знам

Број свих вредности реалног параметра [inline]k[/inline] тако да једино решење система [inline]k+4=kx+2y[/inline], [inline]10x-5y=k(k+4)[/inline] буде [inline](x,y)=(1,2)[/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]1[/inline];C) [inline]2[/inline];D) [inline]3[/inline];E) бесконачно много;N) Не знам

Број свих целобројних решења неједначине [inline]\log_{|x|}\left(\sqrt{9-x^2}-x-1\right)\ge1[/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]1[/inline];C) [inline]2[/inline];D) [inline]3[/inline];E) [inline]4[/inline];N) Не знам

Ако је [inline]f(x+2021)=2x+4040[/inline], онда је [inline]f(x)+2\cdot f^{-1}(x)[/inline]:
A) [inline]2x-2[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{x}{2}+1[/inline];C) [inline]x[/inline];D) [inline]x-4[/inline];E) [inline]3x[/inline];N) Не знам

Остатак при дељењу полинома [inline]p(x)=x^{2021}-2x^{2020}+1[/inline] са полиномом [inline]q(x)=x(x-2)^2[/inline] је:
A) [inline]1[/inline];B) [inline]x+1[/inline];C) [inline]2^{2019}x^2-2^{2020}x+1[/inline];D) [inline]2^{2020}x^2-2^{2019}x+1[/inline];E) [inline]2^{2019}x(x-1)[/inline];N) Не знам

Ако су [inline]x_1[/inline] и [inline]x_2[/inline] решења квадратне једначине [inline]2x^2-x-5=0[/inline], онда је вредност израза [inline]2x_1x_2^3+2x_1^2+x_1\left(2x_1^2x_2-1\right)[/inline] једнака:
A) [inline]\displaystyle-\frac{105}{4}[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{125}{4}[/inline];C) [inline]\displaystyle-\frac{85}{4}[/inline];D) [inline]\displaystyle-\frac{45}{2}[/inline];E) [inline]\displaystyle-\frac{65}{2}[/inline];N) Не знам

У правоугли трапез чији је један унутрашњи угао [inline]60^\circ[/inline] уписан је круг. Ако краћа основица трапеза има дужину [inline]b[/inline] површина трапеза је:
A) [inline]2b^2\sqrt3[/inline];B) [inline]b^2\left(\sqrt3+1\right)[/inline];C) [inline]b^2\left(\sqrt3-1\right)[/inline];D) [inline]2b^2[/inline];E) [inline]b^2\sqrt3[/inline];N) Не знам

Број решења једначине [inline]\displaystyle\cos^4x+\sin^4x=\frac{7}{8}[/inline] на интервалу [inline][0,8][/inline] је:
A) [inline]5[/inline];B) [inline]9[/inline];C) [inline]10[/inline];D) [inline]20[/inline];E) бесконачно;N) Не знам

Трећи, петнаести и педесетпрви члан строго растућег аритметичког низа су и узастопни елементи геометријског низа. Ако је збир првих [inline]5[/inline] чланова датог аритметичког низа једнак [inline]15[/inline], десети члан тог аритметичког низа је:
A) [inline]10[/inline];B) [inline]15[/inline];C) [inline]20[/inline];D) [inline]\displaystyle\frac{13}{2}[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{7}{2}[/inline];N) Не знам

Број целобројних решења неједначине [inline]\displaystyle\sqrt{4+\sqrt{x-2}}-\sqrt{\frac{x}{2}+2}>\sqrt{\frac{x}{2}+2}-\sqrt{4-\sqrt{x-2}}[/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]1[/inline];C) [inline]2[/inline];D) [inline]3[/inline];E) [inline]17[/inline];N) Не знам

Нека је дат једнакокраки троугао чија је основица [inline]AB[/inline] дужине [inline]2[/inline], а висина која одговара основици је такође дужине [inline]2[/inline]. Ако је тачка [inline]D[/inline] подножје висине из тачке [inline]A[/inline] и тачка [inline]E[/inline] на страници [inline]AC[/inline] таква да дуж [inline]ED[/inline] образује прав угао са страницом [inline]AC[/inline], тада је дужина дужи [inline]DE[/inline] једнака:
A) [inline]\sqrt5[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{3}{5}[/inline];C) [inline]\displaystyle\frac{12}{5}[/inline];D) [inline]3\pi\sqrt5[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{12}{25}\sqrt5[/inline];N) Не знам

Ако је [inline]m[/inline] цео број такав да је и [inline]\left(m+\sqrt{12}i\right)^3[/inline] такође цео број ([inline]i^2=-1[/inline]), израз [inline](m+3i)\overline{(m+3i)}[/inline] може имати вредности:
A) [inline]9[/inline];B) [inline]13[/inline];C) [inline]17[/inline];D) [inline]3i[/inline];E) [inline]2-3i[/inline];N) Не знам

У праву правилну шестострану призму чија је ивица основе дужине [inline]1[/inline], а висина [inline]\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}[/inline], уписана је права кружна купа. Површина купе је:
A) [inline]\displaystyle\frac{\pi}{4}[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{\pi}{2}\sqrt3[/inline];C) [inline]\displaystyle\frac{\pi}{2\sqrt3}[/inline];D) [inline]\displaystyle\frac{3\pi}{4}\sqrt2[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{3\pi}{4}\left(1+\sqrt2\right)[/inline];N) Не знам

Цена робе у радњи 2.6.2021. снижена је за [inline]20\%[/inline], а затим 15.6.2021. повећана за [inline]30\%[/inline]. Власници радње су одлучили да сваког месеца наставе са оваквом праксом (другог дана у месецу снизе цену за [inline]20\%[/inline], а петнаестог дана повећају за [inline]30\%[/inline]). У ком месецу 2021. цена робе ће бити већа за бар [inline]12\%[/inline] у односу на цену робе 1.6.2021.?
A) августу;B) септембру;C) октобру;D) новембру;E) децембру;N) Не знам

Расписан је конкурс за упис на мастер студије смерова теоријска математика и програмирање који примају по [inline]3[/inline] студента. За упис је конкурисало [inline]4[/inline] математичара, [inline]3[/inline] рачунарца и [inline]5[/inline] информатичара. Ако се зна да математичари могу уписати само теоријску математику, информатичари само програмирање, а рачунарци могу уписати оба смера, као и да мора бити уписан бар један математичар, рачунарац и информатичар и сва места попуњена на колико начина комисија може изабрати кандидате?
A) [inline]780[/inline];B) [inline]870[/inline];C) [inline]900[/inline];D) [inline]1050[/inline];E) [inline]840[/inline];N) Не знам

Дато је пресликавање [inline]f[/inline] које ињективно пресликава целе бројеве у целе бројеве. Која од следећих тврђења морају бити тачна?

(а) Пресликавање [inline]f[/inline] је бијекција.
(б) Скуп вредности пресликавања [inline]f[/inline] је бесконачан.
(ц) Постоји цео број [inline]m[/inline] такав да је [inline]f(m)=0[/inline].
(д) Постоји цео број [inline]m[/inline] такав да је [inline]f(m)>0[/inline].
(е) Постоји цео број [inline]m[/inline] такав да је [inline]f(m)\ne0[/inline].

A) ниједно;B) сва;C) (а) и (д);D) (б) и (е);E) (б), (ц) и (д);N) Не знам