Математички факултет, Београд. Пријемни испит - 11. јун 2022.

У књижару је стигла извесна количина оловака и било је планирано да се све продају по истој цени. Ипак, продавац је одлучио да повећа цену за [inline]20\%[/inline]. Тако је успео да прода само [inline]\displaystyle\frac{1}{5}[/inline] оловака, па се одлучио да [inline]\displaystyle\frac{2}{5}[/inline] остатка прода по цени [inline]8\%[/inline] нижој од планиране. По којој цени, у односу на планирану, треба да прода остатак оловака да би остварио приход који је очекивао када су оловке стигле у радњу?
A) по [inline]3\%[/inline] вишој;B) по [inline]5\%[/inline] нижој;C) по истој;D) по [inline]5\%[/inline] вишој;E) по [inline]3\%[/inline] нижој;N) Не знам

Ако је реалан број [inline]a\ne-1[/inline], онда је вредност израза [inline]\displaystyle\frac{2a-1}{a+1}-\frac{5a^3-a^2+5a+2}{a^3+1}+\frac{a^2+a+1}{a^2-a+1}[/inline] једнака:
A) [inline]-2[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{8a^3-2a^2+10a+2}{a^3+1}[/inline];C) [inline]\displaystyle\frac{-2a^3+2}{a^3+1}[/inline];D) [inline]a^2+a+1[/inline];E) [inline]a-1[/inline];N) Не знам

Производ свих реалних бројева [inline]a[/inline] за које једначина [inline]\bigl||x-2|-x+a\bigr|=x+3[/inline] има тачно два решења:
A) [inline]168[/inline];B) [inline]-3[/inline];C) [inline]24[/inline];D) [inline]-8[/inline];E) није могуће одредити;N) Не знам

Број вредности параметра [inline]\alpha[/inline] таквих да једно од решења система [equation]-4x+z=\alpha\quad-\alpha y+z=2\quad\alpha x-y=2[/equation] буде [inline]\displaystyle(x,y,z)=\left(\frac{1}{2},-2,2\right)[/inline] је:
A) не постоји такво [inline]\alpha[/inline];B) [inline]1[/inline];C) [inline]2[/inline];D) [inline]3[/inline];E) бесконачно;N) Не знам

Број целобројних решења неједначине [inline]\sqrt{36-3\sqrt{12-4y}}-\sqrt{21-4y}>0[/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]1[/inline];C) [inline]4[/inline];D) [inline]7[/inline];E) бесконачан;N) Не знам

Збир најмањег и највећег целобројног решења неједначине [inline]x^{\log_5x}\le625[/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]2[/inline];C) [inline]22[/inline];D) [inline]26[/inline];E) [inline]102[/inline];N) Не знам

Број решења једначине [inline]\left(\sqrt{7-\sqrt{13}}\right)^x-6^{1-x}\left(\sqrt{7+\sqrt{13}}\right)^x-1=0[/inline] је:
A) нема решења;B) [inline]1[/inline];C) [inline]2[/inline];D) [inline]3[/inline];E) бесконачно;N) Не знам

У једнакокраки трапез [inline]ABCD[/inline] чије су основице [inline]AB=5[/inline] и [inline]CD=3[/inline] је уписан круг. Ако је тачка [inline]E[/inline] пресечна тачка правих које садрже краке трапеза, висина троугла [inline]DCE[/inline] из темена [inline]D[/inline] износи:
A) [inline]\displaystyle\frac{5}{3}[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{3\sqrt3}{2}[/inline];C) [inline]\displaystyle3\sqrt\frac{15}{16}[/inline];D) [inline]\displaystyle\frac{3\sqrt5}{2}[/inline];E) [inline]3[/inline];N) Не знам

У правилну шестострану пирамиду уписана је сфера. Ако је угао који заклапа бочна страна пирамиде са основом [inline]\displaystyle\frac{\pi}{4}[/inline], а ивица основе је дужине [inline]2[/inline], полупречник уписане сфере је:
A) [inline]\displaystyle\sqrt\frac{3}{2}[/inline];B) [inline]\sqrt6-\sqrt3[/inline];C) [inline]\sqrt3[/inline];D) [inline]3[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}[/inline];N) Не знам

Дијагонала [inline]AC[/inline] квадрата [inline]ABCD[/inline] лежи на правој [inline]x-2y+6=0[/inline]. Ако су координате темена [inline]\displaystyle B\left(\frac{10+2\sqrt5}{5},\frac{20-4\sqrt5}{5}\right)[/inline], производ координата темена [inline]D[/inline] је:
A) [inline]\displaystyle\frac{2\sqrt5}{5}[/inline];B) [inline]32[/inline];C) [inline]\sqrt5[/inline];D) [inline]6-2\sqrt5[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{32}{5}[/inline];N) Не знам

Производ три најмања позитивна решења једначине [inline]\displaystyle\cos x+\cos5x+2\sin x=2\frac{\cos x-\cos x\cos2x}{\sin2x}[/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{\pi^3}{16}[/inline];C) [inline]\displaystyle\frac{\pi^3}{32}[/inline];D) [inline]\displaystyle\frac{\pi^3}{48}[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{\pi^3}{64}[/inline];N) Не знам

Ако за странице троугла важи да је [inline]a-b=b-c=2[/inline] и један угао је [inline]\displaystyle\frac{2\pi}{3}[/inline], полупречник описаног круга је:
A) [inline]\displaystyle\frac{10\sqrt2}{3}[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{10\sqrt2}{2}[/inline];C) [inline]15\sqrt3[/inline];D) [inline]\displaystyle\frac{20\sqrt3}{3}[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{7}{\sqrt3}[/inline];N) Не знам

Дате су функције [inline]f\colon\{1,2,3,4,5,6\}\to\{1,2,3,4,5,6\}[/inline] и [inline]g\colon\mathbb{R}\setminus\{-4\}\to\mathbb{R}\setminus\{-4\}[/inline] са [inline]f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & x\text{ paran}\\ \frac{x-1}{2}+4, & x\text{ neparan} \end{cases}[/inline] и [inline]\displaystyle g(x)=\frac{15-4x}{4-x}[/inline]. Вредност израза [inline]\left(g^{-1}\circ f^{-1}\right)(5)[/inline] припада интервалу:
A) [inline](-\infty,0)[/inline];B) [inline][0,5)[/inline];C) [inline][5,10)[/inline];D) [inline][10,15)[/inline];E) [inline][15,+\infty)[/inline];N) Не знам

Нека је дат полином [inline]P(x)=2x^5-17x^4-ax^3-bx^2-cx-d[/inline] при чему [inline]a,b,c,d\in\mathbb{R}[/inline]. Ако су нуле полинома [inline]1+i[/inline] и [inline]2-5i[/inline], тада је [inline]d[/inline] једнако:
A) [inline]290[/inline];B) [inline]-290[/inline];C) [inline]-638[/inline];D) [inline]174[/inline];E) [inline]638[/inline];N) Не знам

Сви студенти Математичког факултета на првој години студија бирају лозинку на студентском сервису Хипатија. Лозинка се састоји од четири знака из скупа [inline]\{M,A,T,1,2,3,4,5,+,-\}[/inline], при чему лозинка може бити састављена на два начина: од свих међусобно различитих знакова при чему је на првом месту слово, а на последњем [inline]+[/inline] или [inline]-[/inline] или од тачно два слова и тачно две цифре, при чему се и слова и цифре могу понављати. Колико укупно лозинки је на овај начин могуће формирати?
A) [inline]786[/inline];B) [inline]1950[/inline];C) [inline]516[/inline];D) [inline]1686[/inline];E) [inline]561[/inline];N) Не знам

Функција [inline]f(x)=x^2+ax+b[/inline] узима негативне вредности ако и само ако је [inline]x\in(-3,14)[/inline]. Колико негативних целобројних вредности узима функција [inline]f[/inline]?
A) [inline]42[/inline];B) [inline]72[/inline];C) [inline]43[/inline];D) [inline]73[/inline];E) бесконачно;N) Не знам

У растућем геометријском низу од [inline]n[/inline] чланова, збир првог и последњег члана је [inline]195[/inline], а производ другог и претпоследњег члана је [inline]576[/inline]. Ако је збир свих чланова [inline]381[/inline], тада је [inline]n[/inline] једнако:
A) [inline]4[/inline];B) [inline]5[/inline];C) [inline]6[/inline];D) [inline]7[/inline];E) [inline]8[/inline] или више;N) Не знам

Нека је [inline]\displaystyle a=\frac{1-i\sqrt3}{2}[/inline], онда је број елемената скупа [inline]\displaystyle S=\left\{a^n+\frac{1}{a^n}\Bigm| n\in\mathbb{N}\right\}[/inline] једнак:
A) [inline]2[/inline];B) [inline]3[/inline];C) [inline]4[/inline];D) више од [inline]4[/inline], али коначно;E) бесконачно;N) Не знам

Колико има целих бројева [inline]n[/inline] таквих да је [inline]4n^2-24n-45[/inline] прост број?
A) [inline]0[/inline];B) [inline]1[/inline];C) [inline]2[/inline];D) [inline]3[/inline];E) [inline]4[/inline] или више;N) Не знам

Која од следећих тврђења су тачна?

(а) За свака два реална броја [inline]x[/inline] и [inline]y[/inline] важи [inline]\sin(x+y)=\sin x+\sin y[/inline].
(б) За свака два реална броја [inline]x[/inline] и [inline]y[/inline] важи [inline]e^{x+y}=e^xe^y[/inline].
(ц) За свака два реална броја [inline]x[/inline] и [inline]y[/inline] важи [inline]\ln(xy)=\ln x+\ln y[/inline].
(д) Постоје два реална броја [inline]x[/inline] и [inline]y[/inline] таква да важи [inline]\sin(x+y)=\sin x+\sin y[/inline].
(е) Постоји цео број [inline]m[/inline] такав да је [inline]\text{arctg }m=m^2+4[/inline].
A) ниједно;B) (б);C) (б) и (ц);D) (б) и (д);E) (б), (ц) и (е);N) Не знам