Математички факултет, Београд. Пријемни испит - 15. јун 2019.

Ако је [inline]a\lt0[/inline], онда је израз [inline]\displaystyle\frac{\sqrt{a^2-a\sqrt{20}+5}}{\sqrt5-a}+\left(a^2\right)^\frac{1}{2}[/inline] идентички једнак изразу:
A) [inline]1+a[/inline];B) [inline]1-a[/inline];C) [inline]-1+a[/inline];D) [inline]-1-a[/inline];E) [inline]-1+|a|[/inline];N) Не знам

Нека је [inline]\displaystyle a=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}[/inline], где су [inline]p[/inline] и [inline]q[/inline] узајамно прости бројеви. Ако је [inline]a[/inline] параметар за који је збир кубова решења једначине [inline]3x^2-3x+5a^2-7a-3=0[/inline] максималан, онда је [inline]q\choose p[/inline] једнако:
A) [inline]21[/inline];B) [inline]35[/inline];C) [inline]120[/inline];D) [inline]126[/inline];E) [inline]330[/inline];N) Не знам

Површина четвороугла чија су темена [inline]z_1=-1+i[/inline], [inline]z_2=2-i[/inline], [inline]z_3=3+i[/inline] и [inline]z_4=2+2i[/inline], где је [inline]i^2=-1[/inline], једнака је:
A) [inline]2[/inline];B) [inline]4[/inline];C) [inline]6[/inline];D) [inline]8[/inline];E) [inline]12[/inline];N) Не знам

Скуп свих решења неједначине [inline]\displaystyle\frac{2-\sqrt{2-7x}}{x}>1[/inline] је подскуп скупа:
A) [inline](-3,-1)[/inline];B) [inline](-\infty,-3)[/inline];C) [inline](-1,2][/inline];D) [inline](-2,1][/inline];E) [inline][1,3][/inline];N) Не знам

Укупан број реалних решења једначине [inline]3^{\sin\bigl(\cos(2\pi x)\bigr)}=4^{\frac{\sqrt{9+4\sqrt5}-\sqrt{9-4\sqrt5}}{4}-1}[/inline] у интервалу [inline][0,\pi][/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]2[/inline];C) [inline]4[/inline];D) [inline]6[/inline];E) [inline]8[/inline];N) Не знам

Укупан број реалних решења једначине [inline]\displaystyle\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+2x+5\right)}{\left(2^x-2\right)\cdot\ln x}=0[/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]1[/inline];C) [inline]2[/inline];D) [inline]3[/inline];E) [inline]5[/inline];N) Не знам

Скуп свих реалних решења неједначине [inline]\displaystyle\log_{\cos x}\left|x-\frac{\pi}{4}\right|>\log_{\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}2x[/inline] у интервалу [inline]\displaystyle\left[0,\frac{\pi}{2}\right][/inline] је облика (за неке реалне бројеве [inline]a[/inline] и [inline]b[/inline] такве да је [inline]0\lt a\lt b\lt\frac{\pi}{2}[/inline]):
A) [inline](0,a)[/inline];B) [inline]\displaystyle(a,b)\cup\left(b,\frac{\pi}{2}\right)[/inline];C) [inline](a,b)[/inline];D) [inline]\displaystyle\left(0,\frac{\pi}{2}\right)[/inline];E) [inline]\displaystyle\left(a,\frac{\pi}{2}\right)[/inline];N) Не знам

Први члан геометријског низа је [inline]b_1=4[/inline], а количник [inline]q=2[/inline]. Ако је [inline]n[/inline]-ти члан овог низа једнак суми свих коефицијената развоја бинома [inline](1+x)^7[/inline], онда је сума првих [inline]30[/inline] чланова аритметичког низа, чија је разлика [inline]d=q[/inline], а први члан [inline]a_1=n-b_1[/inline], једнака:
A) [inline]390[/inline];B) [inline]960[/inline];C) [inline]930[/inline];D) [inline]990[/inline];E) [inline]2^{30}[/inline];N) Не знам

Укупан број реалних решења једначине [inline]\ln\sqrt x=x^3-1[/inline] је:
A) [inline]0[/inline];B) [inline]1[/inline];C) [inline]2[/inline];D) [inline]3[/inline];E) [inline]4[/inline];N) Не знам

Најмањи позитиван реалан број [inline]a[/inline] за који је права [inline]x=a[/inline] оса симетрије графика функције [inline]\displaystyle y=\sin\left(2x-\frac{4\pi}{3}\right)[/inline] је:
A) [inline]\displaystyle\frac{\pi}{12}[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{5\pi}{12}[/inline];C) [inline]\displaystyle\frac{7\pi}{12}[/inline];D) [inline]\displaystyle\frac{11\pi}{12}[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{19\pi}{12}[/inline];N) Не знам

Дате су једначине [inline]2x-y=3[/inline], [inline]4x-2y=7[/inline]. Које је од следећих тврђења тачно?
[inline](I)[/inline]Наведене једначине су једначине две праве у равни које се секу.
[inline](II)[/inline]Наведене једначине су једначине две праве у равни које су паралелне.
[inline](III)[/inline]Наведене једначине су једначине две праве у равни које се поклапају.
[inline](IV)[/inline]Наведене једначине су једначине две праве у равни које се секу у тачно [inline]2[/inline] тачке.
[inline](V)[/inline]Наведене једначине су једначине параболе.
A) [inline]I[/inline];B) [inline]II[/inline];C) [inline]III[/inline];D) [inline]IV[/inline];E) [inline]V[/inline];N) Не знам

Једначина елипсе, чија је велика оса дужине [inline]10[/inline] и која има жиже у тачкама [inline](-6,-3)[/inline] и [inline](0,-3)[/inline], је:
A) [inline]\displaystyle\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{16}=1[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{(x+3)^2}{16}+\frac{(y-4)^2}{25}=1[/inline];C) [inline]\displaystyle\frac{(x+3)^2}{25}+\frac{(y+3)^2}{16}=1[/inline];D) [inline]\displaystyle\frac{(x+4)^2}{25}+\frac{(y-3)^2}{16}=1[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{(x-3)^2}{25}+\frac{(y-4)^2}{16}=1[/inline];N) Не знам

Кружнице [inline]C_1[/inline] и [inline]C_2[/inline] са центрима [inline]A[/inline] и [inline]B[/inline] имају редом полупречнике [inline]\sqrt6[/inline] и [inline]\sqrt3-1[/inline], а дужина дужи [inline]AB[/inline] једнака је [inline]2[/inline]. Ако су [inline]C[/inline] и [inline]D[/inline] пресечне тачке ових кружница, дужина дужи [inline]CD[/inline] једнака је:
A) [inline]3[/inline];B) [inline]3-\sqrt3[/inline];C) [inline]2-\sqrt3[/inline];D) [inline]2+\sqrt3[/inline];E) [inline]4[/inline];N) Не знам

Основа праве тростране призме је правоугли троугао чија је једна катета дужине [inline]10\text{ cm}[/inline]. Пресек призме и равни која садржи теме правог угла доње основе призме и темена оштрих углова горње основе призме јесте једнакостранични троугао. Запремина призме је:
A) [inline]500\text{ cm}^3[/inline];B) [inline]500\sqrt2\text{ cm}^3[/inline];C) [inline]500\sqrt3\text{ cm}^3[/inline];D) [inline]500\sqrt6\text{ cm}^3[/inline];E) [inline]1000\text{ cm}^3[/inline];N) Не знам

Укупна дужина сегмената, који су подскуп сегмента [inline][0,2\pi][/inline] и на којима је бар једна од неједнакости [inline]\displaystyle\sin x\ge\frac{1}{2}[/inline], [inline]\displaystyle\sin2x\ge\frac{1}{2}[/inline] тачна, једнака је:
A) [inline]\displaystyle\frac{2\pi}{3}[/inline];B) [inline]\displaystyle\frac{13\pi}{12}[/inline];C) [inline]\displaystyle\frac{7\pi}{6}[/inline];D) [inline]\displaystyle\frac{5\pi}{4}[/inline];E) [inline]\displaystyle\frac{4\pi}{3}[/inline];N) Не знам

Степен променљиве [inline]x[/inline] уз који стоји највећи коефицијент у развоју бинома [inline]\displaystyle\left(1+\frac{1}{2}x\right)^{10}[/inline] је:
A) [inline]2[/inline];B) [inline]3[/inline];C) [inline]4[/inline];D) [inline]5[/inline];E) [inline]10[/inline];N) Не знам

Број [inline]2^k\cdot4^m\cdot8^n[/inline] ([inline]k,m,n\in\mathbb{N}[/inline]) је трећи степен неког природног броја ако и само ако важи:
A) [inline]k[/inline] је дељив са [inline]3[/inline];B) [inline]k+m[/inline] је дељив са [inline]3[/inline];C) [inline]k+m+n[/inline] је дељив са [inline]3[/inline];D) [inline]k-m[/inline] је дељив са [inline]3[/inline];E) сви бројеви [inline]k[/inline], [inline]m[/inline], [inline]n[/inline] су дељиви са [inline]3[/inline];N) Не знам

Реални бројеви [inline]a\ne0[/inline] и [inline]b[/inline] су такви да је остатак при дељењу полинома [inline]x^2-2ax+a^4[/inline] полиномом [inline]x+b[/inline] једнак [inline]1[/inline], док је полином [inline]bx^2+x+1[/inline] дељив полиномом [inline]ax-1[/inline]. Све могуће вредности броја [inline]b[/inline] су:
A) [inline]1[/inline];B) [inline]0[/inline] и [inline]-2[/inline];C) [inline]1[/inline] и [inline]2[/inline];D) [inline]1[/inline] и [inline]3[/inline];E) [inline]-1[/inline] и [inline]2[/inline];N) Не знам

Петоцифрених бројева чији је збир цифара [inline]13[/inline] и чије су све цифре различите има:
A) [inline]192[/inline];B) [inline]360[/inline];C) [inline]240[/inline];D) [inline]96[/inline];E) [inline]288[/inline];N) Не знам

Ако је [inline]f(x)=3-4x[/inline], онда је скуп свих решења неједначине [inline]\displaystyle f(x)+\frac{1}{f^{-1}(x)}\le1[/inline]:
A) [inline](-\infty,1][/inline];B) [inline]\displaystyle\left(1,\frac{5}{2}\right][/inline];C) [inline]\displaystyle\left[1,\frac{5}{2}\right]\cup(3,+\infty)[/inline];D) [inline][3,+\infty)[/inline];E) [inline]\displaystyle(-\infty,1]\cup\left[\frac{5}{2},3\right)[/inline];N) Не знам