Математички факултет, Београд. Пријемни испит - 26. јун 2019.

Нека су [inline]a[/inline] и [inline]b[/inline] произвољни реални бројеви. Колико је од следећих тврђења увек тачно?
[inline](I)[/inline] ако је [inline]a\lt b[/inline] и [inline]ab\ne0[/inline], онда је [inline]\displaystyle\frac{1}{a}>\frac{1}{b}[/inline];
[inline](II)[/inline] ако је [inline]a\lt b[/inline], онда је [inline]a^2\lt b^2[/inline];
[inline](III)[/inline] ако је [inline]a\lt b[/inline], онда је [inline]2a\lt a+b[/inline];
[inline](IV)[/inline] ако је [inline]a\lt b[/inline], онда је [inline]-a>-b[/inline].
A) ниједноB) једноC) дваD) триE) четириN) Не знам

Вредност израза [inline]\displaystyle\frac{\left(2019x^2+1\right)\left(x^2-y-1\right)\left(x^2-y^2\right)}{(x-y)(2019x-1260y)\left(2x^2-3y\right)}[/inline] за [inline]x=\sqrt3[/inline] и [inline]y=2[/inline]:
A) мања је од [inline]0[/inline]B) једнака је [inline]0[/inline]C) припада интервалу [inline](0,1][/inline]D) већа је од [inline]1[/inline]E) није дефинисанаN) Не знам

Систем једначина [inline]2x+ay=3[/inline], [inline](a+2)x+4y=-3[/inline] има бесконачно много решења ако и само ако за параметар [inline]a[/inline] важи:
A) [inline]a=4[/inline]B) [inline]a=2[/inline]C) [inline]a\in\{-4,2\}[/inline]D) [inline]a=-4[/inline]E) такво [inline]a[/inline] не постојиN) Не знам

Ако квадратна једначина [inline]x^2-ax+4=0[/inline] има реална решења [inline]x_1[/inline] и [inline]x_2[/inline], при чему је [inline]x_1\lt x_2[/inline], а квадратна једначина [inline]x^2-9x+b=0[/inline] има решења [inline]x_1[/inline] и [inline]2x_2[/inline], тада је производ [inline]abx_1x_2[/inline] једнак:
A) [inline]20[/inline]B) [inline]40[/inline]C) [inline]80[/inline]D) [inline]160[/inline]E) [inline]272[/inline]N) Не знам

Теме параболе [inline]y=kx^2-7x+4k[/inline], [inline]k\ne0[/inline], лежи у другом квадранту ако и само ако је:
A) [inline]\displaystyle k\in\left(-\frac{7}{4},0\right)[/inline]B) [inline]\displaystyle k\lt-\frac{7}{4}[/inline]C) [inline]\displaystyle|k|>\frac{7}{4}[/inline]D) [inline]\displaystyle k\in\left(-\frac{7}{4},0\right)\cup\left(0,\frac{7}{4}\right)[/inline]E) [inline]k\lt0[/inline]N) Не знам

Ако је [inline](x,y)[/inline] решење система једначина [inline]2^x+3\cdot2^y=2[/inline], [inline]4^x-9\cdot4^y=1[/inline], онда је [inline]x-y[/inline] једнако:
A) [inline]\log_23[/inline]B) [inline]\log_25[/inline]C) [inline]2[/inline]D) [inline]\log_25-2[/inline]E) [inline]\log_27-2[/inline]N) Не знам

Вредност израза [inline]\log_2\left(\log_{\sqrt2}9\cdot\log_{\sqrt3}2\right)[/inline] је:
A) [inline]-1[/inline]B) [inline]3[/inline]C) [inline]4[/inline]D) [inline]2[/inline]E) [inline]\displaystyle\frac{3}{2}[/inline]N) Не знам

Тетива једнака полупречнику круга дели круг на два дела. Однос површине већег дела према површини мањег је:
A) [inline]32:1[/inline]B) [inline]\left(6\pi+2\sqrt3\right):\left(3\pi-2\sqrt3\right)[/inline]C) [inline]\left(10\pi+3\sqrt3\right):\left(2\pi-3\sqrt3\right)[/inline]D) [inline]\left(5\pi+\sqrt3\right):\left(\pi-\sqrt3\right)[/inline]E) [inline]16:1[/inline]N) Не знам

Површина основе правилне тростране пирамиде је [inline]180\text{ cm}^2[/inline], а површина пресека те пирамиде са равни која је паралелна основи и удаљена је [inline]6\text{ cm}[/inline] од врха пирамиде износи [inline]45\text{ cm}^2[/inline]. Запремина те пирамиде је:
A) [inline]480\text{ cm}^3[/inline]B) [inline]600\text{ cm}^3[/inline]C) [inline]720\text{ cm}^3[/inline]D) [inline]960\text{ cm}^3[/inline]E) [inline]1440\text{ cm}^3[/inline]N) Не знам

Број решења једначине [inline]\sin(2\cos x+2)=0[/inline] у интервалу [inline][0,2\pi][/inline] је:
A) већи од [inline]4[/inline]B) [inline]1[/inline]C) [inline]2[/inline]D) [inline]4[/inline]E) [inline]3[/inline]N) Не знам

Функција [inline]f\colon(-1,1)\to\mathbb{R}[/inline], таква да за све [inline]x\ne k\pi[/inline], [inline]k\in\mathbb{Z}[/inline] важи [inline]\displaystyle\frac{\sin4x}{\sin x}=f(\cos x)[/inline], дата је изразом:
A) [inline]f(t)=4t\left(2t^2-1\right)[/inline]B) [inline]f(t)=4t\left(t^2-1\right)[/inline]C) [inline]f(t)=2t\left(1-t^4\right)[/inline]D) [inline]f(t)=4t\left(1+2t^2\right)[/inline]E) [inline]f(t)=2t\left(2t^2-1\right)[/inline]N) Не знам

Нека је [inline]ABCD[/inline] паралелограм у [inline]xOy[/inline] равни, [inline]S[/inline] пресек његових дијагонала и [inline]E[/inline] средиште странице [inline]CD[/inline]. Ако је [inline]A(1,1)[/inline], [inline]S(6,4)[/inline], [inline]E(4,2)[/inline], [inline]B(x_1,y_1)[/inline] и [inline]D(x_2,y_2)[/inline], тада је [inline]x_1+2y_1+3x_2+4y_2[/inline] једнако:
A) [inline]-24[/inline]B) [inline]-16[/inline]C) [inline]0[/inline]D) [inline]16[/inline]E) [inline]10[/inline]N) Не знам

Парабола [inline]y=(x-1)^2[/inline] и права [inline]y=kx[/inline] имају бар једну заједничку тачку ако и само ако за реални параметар [inline]k[/inline] важи:
A) [inline]k\ge0[/inline]B) [inline]k\le-4[/inline]C) [inline]k\ge0[/inline] или [inline]k\le-4[/inline]D) [inline]-4\le k\le0[/inline]E) [inline]k\ge-4[/inline]N) Не знам

Низ [inline](a_n)[/inline] одређен је условима [inline]a_1=3[/inline], [inline]a_2=15[/inline] и [inline]\displaystyle a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}[/inline] за [inline]n\in\mathbb{N}[/inline]. Члан [inline]a_{2019}[/inline] тог низа једнак је:
A) [inline]3[/inline]B) [inline]5[/inline]C) [inline]15[/inline]D) [inline]\displaystyle\frac{1}{3}[/inline]E) [inline]\displaystyle\frac{1}{5}[/inline]N) Не знам

Ако за аритметички низ [inline](a_n)[/inline] важи [inline]a_1+a_7=22[/inline] и [inline]a_3a_4=88[/inline], онда је [inline]a_7[/inline] једнако:
A) [inline]17[/inline]B) [inline]18[/inline]C) [inline]19[/inline]D) [inline]20[/inline]E) [inline]21[/inline]N) Не знам

Ако је комплексан број [inline]z[/inline] решење једначине [inline]|z|+z=2+i[/inline], онда је [inline]\text{Re }z[/inline] једнако:
A) [inline]\displaystyle\frac{2}{5}[/inline]B) [inline]\displaystyle\frac{3}{4}[/inline]C) [inline]\displaystyle-\frac{2}{5}[/inline]D) [inline]\displaystyle-\frac{3}{5}[/inline]E) такво [inline]z[/inline] не постојиN) Не знам

Ако полином [inline]\left(3x^2+4x-5\right)(ax-2)[/inline] при дељењу са [inline]x+1[/inline] даје остатак [inline]36[/inline], вредност параметра [inline]a[/inline] је:
A) [inline]-8[/inline]B) [inline]-4[/inline]C) [inline]-2[/inline]D) [inline]1[/inline]E) [inline]4[/inline]N) Не знам

Функција [inline]f\colon\mathbb{R}\setminus\{-2\}\to\mathbb{R}[/inline] дата је помоћу [inline]\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x+2}[/inline]. Збир свих реалних бројева [inline]x[/inline] за које важи [inline]f\bigl(f(x)\bigr)=-x-1[/inline] једнак је:
A) [inline]\displaystyle\frac{4}{3}[/inline]B) [inline]\displaystyle-\frac{10}{3}[/inline]C) [inline]\displaystyle-\frac{4}{3}[/inline]D) [inline]\displaystyle-\frac{8}{3}[/inline]E) такво [inline]x[/inline] не постојиN) Не знам

Петоцифрених бројева облика [inline]\overline{a3cd2}[/inline] који су дељиви са [inline]4[/inline] и чије су све цифре различите има:
A) [inline]210[/inline]B) [inline]180[/inline]C) [inline]168[/inline]D) [inline]144[/inline]E) [inline]120[/inline]N) Не знам

Збир [inline]\displaystyle{34\choose32}+{33\choose31}[/inline] једнак је:
A) [inline]\displaystyle{34\choose31}^2[/inline]B) [inline]\displaystyle\frac{1}{2}{33\choose32}^2[/inline]C) [inline]\displaystyle{34\choose33}^2[/inline]D) [inline]\displaystyle\frac{1}{2}{32\choose31}^2[/inline]E) [inline]\displaystyle{33\choose32}^2[/inline]N) Не знам