Математички факултет, Београд. Пријемни испит - 17. јун 2023.

Дат је литар раствора соли концентрације \(\displaystyle 20\%\). Колико је литара раствора соли концентрације \(\displaystyle 5\%\) потребно додати, да бисмо добили раствор соли концентрације \(\displaystyle 15\%\)?
A) \(\displaystyle \frac{1}{4}\)B) \(\displaystyle \frac{1}{3}\)C) \(\displaystyle \frac{1}{2}\)D) \(\displaystyle 1\)E) \(\displaystyle 2\)N) Не знам

Збир квадрата свих комплексних бројева \(\displaystyle z\) за које важи \(\displaystyle \overline z = z^2\) је:
A) \(\displaystyle i\sqrt{3}\)B) \(\displaystyle -1\)C) \(\displaystyle 3\)D) \(\displaystyle 0\)E) \(\displaystyle 1\)N) Не знам

Први члан аритметичког низа је \(\displaystyle 1\), а пети члан је \(\displaystyle 17\). Ако је трећи члан тог аритметичког низа уједно и други члан геометријског низа чији је пети члан \(\displaystyle 243\), тада је збир првих пет чланова тог геометријског низа једнак:
A) \(\displaystyle 463\)B) \(\displaystyle 321\)C) \(\displaystyle 60\)D) \(\displaystyle 18\)E) \(\displaystyle 363\)N) Не знам

Константан сабирак у разбијеном облику израза \(\displaystyle \left(e^{-2x} - \frac{1}{2}e^{4x}\right)^9\) је:
A) \(\displaystyle -\frac{21}{2}\)B) \(\displaystyle 6\)C) \(\displaystyle 84\)D) \(\displaystyle -3\)E) \(\displaystyle -\frac{63}{8}\)N) Не знам

Ако је права \(\displaystyle 2x-y+2=0\) тангента круга полупречника \(\displaystyle r\) чији центар има координате \(\displaystyle (r,2r)\), тада је \(\displaystyle r\) једнако:
A) \(\displaystyle \sqrt{3}\)B) \(\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{5}\)C) \(\displaystyle 1\)D) \(\displaystyle 3 \)E) \(\displaystyle \sqrt{2}\)N) Не знам

Производ свих вредности реалног параметра \(\displaystyle \alpha\) за које једначина [inline]\bigl||x+3|-2\bigr|-|x-\alpha|=0[/inline] има бесконачно решења је:
A) \(\displaystyle 5\)B) \(\displaystyle -1\)C) \(\displaystyle 3\)D) \(\displaystyle 0\)E) не постоји такво \(\displaystyle \alpha\)N) Не знам

Ако важи \(\displaystyle x^2 + y^2 = 14xy \) и \(\displaystyle x > y > 0\), тада је вредност израза \(\displaystyle \frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}\) једнака:
A) \(\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3} \)B) \(\displaystyle \frac{26\sqrt{3}}{45} \)C) \(\displaystyle \frac{13}{15} \)D) \(\displaystyle 16\)E) не може се одредитиN) Не знам

Број решења једначине \(\displaystyle \frac{\sin 4x \cos 8x}{1 - \cos 4x} = 0\) на интервалу \(\displaystyle [0,5\pi) \) је
A) \(\displaystyle 5 \)B) \(\displaystyle 25 \)C) \(\displaystyle 30 \)D) \(\displaystyle 40 \)E) \(\displaystyle 50 \)N) Не знам

Број целобројних решења једначине \(\displaystyle \sqrt{x + 13 - 8\sqrt{x - 3}} + \sqrt{x + 33 - 12\sqrt{x - 3}} = 2 \) је:
A) \(\displaystyle 0\)B) \(\displaystyle 1\)C) \(\displaystyle 2\)D) \(\displaystyle 21\)E) бесконачноN) Не знам

Скуп решења неједначине \(\displaystyle 5 \cdot 3^{2x+1}+3\cdot 5^{2x+1} \le 34 \cdot 3^x \cdot 5^x\) је облика:
A) \(\displaystyle [a,b]\)B) \(\displaystyle [a,b)\)C) \(\displaystyle (a,b]\)D) \(\displaystyle (a,b)\)E) \(\displaystyle [a,+\infty)\)N) Не знам

Производ свих реалних решења једначине \(\displaystyle 2022 \cdot x^{\log_{2023} x} = x^{2022}\) износи:
A) \(\displaystyle 2022^{2023}\)B) \(\displaystyle 2023^{1011}\)C) \(\displaystyle 2022 \cdot 2023\)D) \(\displaystyle 2023^{2022}\)E) \(\displaystyle 2023\)N) Не знам

Основна ивица правилне тростране пирамиде је дужине \(\displaystyle x\), а бочна страна заклапа са равни основе угао од \(\displaystyle 60^\circ\). Ако је мерни број површине пирамиде једнак мерном броју запремине, тада је \(\displaystyle x \) једнако:
A) \(\displaystyle 6\)B) \(\displaystyle 9\)C) \(\displaystyle 18\)D) \(\displaystyle 36\)E) \(\displaystyle 72\)N) Не знам

Нека је дат квадрат \(\displaystyle ABCD\) странице \(\displaystyle a\). Нека је \(\displaystyle S\) средиште странице \(\displaystyle BC\), а \(\displaystyle T\) тачка на дужи \(\displaystyle DS\) таква да је \(\displaystyle AT\) нормална на \(\displaystyle DS\). Тада је обим троугла \(\displaystyle ABT\) једнак:
A) \(\displaystyle \frac{a\sqrt{5}}{10}\)B) \(\displaystyle a \left(2 + \frac{\sqrt{5}}{10}\right)\)C) \(\displaystyle 2a \left(1 + \frac{\sqrt{5}}{5}\right)\)D) \(\displaystyle 5a\)E) \(\displaystyle 2a \left(1 - \frac{\sqrt{5}}{5}\right)\)N) Не знам

Нека је \(\displaystyle S \) скуп свих реалних бројева \(\displaystyle \alpha \) за које једначина \(\displaystyle |x-4|(|x| - 2) = \alpha\) има два решења. Тада је скуп \(\displaystyle S\) облика (иста слова одговарају истим бројевима, различита различитим):
A) \(\displaystyle (a,b) \cup (b, +\infty)\)B) \(\displaystyle (a,b) \cup (c, +\infty)\)C) \(\displaystyle (a,b]\)D) \(\displaystyle [a,b)\)E) \(\displaystyle (a,b) \cup [c, +\infty)\)N) Не знам

Нека је \(\displaystyle N\) број свих целих бројева \(\displaystyle a\) за које систем \[\displaystyle x+(a+1)y = 2\]\[\displaystyle a(2x-y) - a(ay+1) = 3\] има решење \(\displaystyle (x,y)\) такво да је \(\displaystyle |x+y| \le \frac{2023}{a+1}\). Тада је \(\displaystyle N\) једнак:
A) \(\displaystyle 2019\)B) \(\displaystyle 2020\)C) \(\displaystyle 2021\)D) \(\displaystyle 2022\)E) \(\displaystyle 2023\)N) Не знам

Ако су \(\displaystyle x_1, x_2\) и \(\displaystyle x_3\) нуле полинома \(\displaystyle x^3 + 3x^2 +2x -5\), тада је вредност израза \[\displaystyle \frac{1}{x_1 + 3} + \frac{1}{x_2 + 3}+ \frac{1}{x_3 + 3} \] једнака:
A) \(\displaystyle 1\)B) \(\displaystyle 11\)C) \(\displaystyle -\frac{7}{11}\)D) \(\displaystyle \frac{7}{5}\)E) \(\displaystyle \frac{11}{20}\)N) Не знам

Нека је \(\displaystyle (x-1)f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x-1}\). Тада је [inline]f\Bigl(f\bigl(\cdots f(2023)\cdots\bigr)\Bigr)[/inline], где се \(\displaystyle f\) примењује \(\displaystyle 2023\) пута, једнако:
A) \(\displaystyle 2023\)B) \(\displaystyle 2022\)C) \(\displaystyle -\frac{1}{2022}\)D) \(\displaystyle \frac{2022}{2023}\)E) \(\displaystyle \frac{2023}{2022}\)N) Не знам

На колико начина се број \(\displaystyle 2023 \) може записати као збир два или више узастопних природних бројева?
A) на мање од \(\displaystyle 5 \)B) \(\displaystyle 5\)C) \(\displaystyle 6 \)D) \(\displaystyle 7 \)E) на више од \(\displaystyle 7\)N) Не знам

Тренер Денвера има на располагању \(\displaystyle 15\) играча који на дресу носе бројеве од \(\displaystyle 1\) до \(\displaystyle 15\). На њему је да одабере петорку, под следећим условима: два играча чији је збир бројева на дресу једнак \(\displaystyle 15\) не могу играти заједно, док Никола Јокић, који носи број \(\displaystyle 15 \), може играти са било којим играчем. На колико начина тренер може одабрати петорку?
A) \(\displaystyle 56\)B) \(\displaystyle 560\)C) \(\displaystyle 672\)D) \(\displaystyle 1232\)E) \(\displaystyle 4704\)N) Не знам

У финалу тениског турнира Ролан Гарос, последња два поена је освојио Новак Ђоковић и тако постао шампион. У оба поена су се оба играча налазила на основној линији у истим тачкама \(\displaystyle N \) (Новак) и \(\displaystyle R \) (противник). У првом поену противник је лоптицу послао ван терена у тачку \(\displaystyle T\), тако да је \(\displaystyle RT = 30m\) и \(\displaystyle \angle NRT = 60^\circ\). У другом поену, Ђоковић је послао неодбрањив ударац у тачку \(\displaystyle S\) која се такође налази на основној линији тако да је \(\displaystyle \angle NSR = 45^\circ\) и \(\displaystyle RS = \left(8\sqrt{3} - 8\right)m\). Ако се зна да је и \(\displaystyle \angle TRS = 60^\circ\), тада је дужина \(\displaystyle NT\) једнака:
A) \(\displaystyle 24m\)B) \(\displaystyle 26m\)C) \(\displaystyle 24(\sqrt{3} - 1)m\)D) \(\displaystyle 26(\sqrt{3} - 1)m\)E) \(\displaystyle 8(\sqrt{3} + 1)m\)N) Не знам